Bài tập tổng ôn chương 5: Giới hạn và hàm số liên tục lớp 11

Chào mừng các em học sinh đến với Tài liệu Bài tập tổng ôn chương 5: Giới hạn và hàm số liên tục lớp 11! Tài liệu được chọn lọc và biên soạn tỉ mỉ, kĩ càng, hứa hẹn giúp các em phát triển nền tảng kiến thức một cách vững vàng, làm tăng sự tự tin trong quá trình học tập.

Trong toán học, "giới hạn" là một khái niệm quan trọng liên quan đến việc xác định hành vi của một dãy hoặc hàm số khi tiến gần tới một giá trị nhất định. Cụ thể, giới hạn của một dãy số là giá trị mà các phần tử trong dãy tiến tới khi chỉ số của chúng tiến tới vô cùng.

Cho một dãy số a1​,a2​,a3​,..., giới hạn của dãy này, kí hiệu là L, được định nghĩa như sau:

L= lim n→∞​ (a_n)​

Nếu tồn tại một giá trị L sao cho với mỗi số dương ε, tồn tại một số tự nhiên N sao cho với mọi n>N, ta luôn có ∣an​−L∣<ε, thì ta nói rằng giới hạn của dãy số là L.

Bài tập về giới hạn:

1. Xác định giới hạn của dãy số:
   • Cho một dãy số đã cho, yêu cầu tính giới hạn của dãy này.
2. Chứng minh giới hạn của dãy số:
   • Cho một dãy số và một giá trị giới hạn, yêu cầu chứng minh rằng giới hạn của dãy số là giá trị đã cho.
3. Sử dụng định lý để tính giới hạn:
   • Cho một dãy số và một định lý liên quan đến giới hạn, yêu cầu sử dụng định lý để tính giới hạn của dãy số.
4. Tìm giới hạn của hàm số:
   • Cho một hàm số, yêu cầu tính giới hạn của hàm số này khi biến đổi tiến tới một giá trị xác định.
5. Áp dụng giới hạn vào bài toán thực tế:
   • Cho một vấn đề thực tế, yêu cầu sử dụng khái niệm về giới hạn để giải quyết vấn đề này.

Bài tập về giới hạn giúp phát triển kỹ năng phân tích và hiểu biết về hành vi của dãy số hoặc hàm số khi tiến tới một giá trị xác định. Đồng thời, chúng cũng giúp phát triển khả năng sử dụng định lý và kiến thức toán học vào việc giải quyết các vấn đề thực tế.

Trong toán học, một hàm số được gọi là liên tục tại một điểm nếu giá trị của hàm số tại điểm đó tồn tại và tiệm cận với giá trị của hàm số tại điểm đó khi các giá trị của biến độc lập tiến gần tới điểm đó. Cụ thể, một hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x=c nếu:

1. f(c) tồn tại (nghĩa là hàm số không có giá trị không xác định tại c).
2. limx→c​f(x) tồn tại.
3. f(c)=limx→c​f(x).

Nếu hàm số f(x) liên tục tại mọi điểm trong miền xác định của nó, nghĩa là liên tục trên toàn bộ miền này, thì nó được gọi là một hàm số liên tục.

Bài tập về hàm số liên tục:

1. Xác định tính liên tục của hàm số:
   • Cho một hàm số đã cho và một điểm, yêu cầu xác định liệu hàm số đó có liên tục tại điểm đó không.
2. Tìm điểm không liên tục:
   • Cho một hàm số, yêu cầu xác định tất cả các điểm mà hàm số không liên tục.
3. Xác định miền liên tục:
   • Cho một hàm số, yêu cầu xác định miền xác định của hàm số mà nó liên tục trên miền đó.
4. Tìm hàm số liên tục mới:
   • Cho một hàm số và một điểm, yêu cầu điều chỉnh hàm số để nó trở thành liên tục tại điểm đó.
5. Sử dụng tính chất của hàm số liên tục:
   • Cho một vấn đề áp dụng, yêu cầu sử dụng tính chất của hàm số liên tục để giải quyết vấn đề đó.

Bài tập về hàm số liên tục giúp củng cố hiểu biết về tính chất của hàm số liên tục và cách áp dụng nó vào việc giải quyết các vấn đề toán học và thực tế. Đồng thời, chúng cũng giúp phát triển kỹ năng phân tích và suy luận toán học.