Tổng hợp lý thuyết và bài tập sự đồng quy của 3 đường trung tuyến tam giác

Hocaz.vn giới thiệu tới các bạn tài liệu Tổng hợp lý thuyết và bài tập sự đồng quy của 3 đường trung tuyến tam giác

1. Định nghĩa:

• Trong một tam giác ABC, ba đường trung tuyến là các đoạn thẳng nối mỗi đỉnh của tam giác với trung điểm của cặp đỉnh còn lại. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, và AB.
• Ba đường trung tuyến của tam giác ABC là AD, BE, và CF.

2. Tính chất:

• Ba đường trung tuyến AD, BE, và CF của tam giác ABC đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm G của tam giác.
• Trọng tâm (G) là nơi đồng quy của đường trung tuyến:

• Trọng tâm G là trung điểm của các đoạn thẳng nối mỗi đỉnh của tam giác với điểm giao điểm của ba đường trung tuyến. Cụ thể, AG = GD, BG = GE, và CG = GF.

3. Bài tập:
4. a) Bài toán đơn giản về sự đồng quy:

• Đề bài: Cho tam giác ABC với đường trung tuyến AD. Chứng minh rằng AD cắt nhau với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm G, là trọng tâm của tam giác.
• Giải:

• Sử dụng tính chất của đường trung tuyến, ta có AG = GD.
• Đồng thời, sử dụng tính chất của đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có AG = GD = BG = GE = CG = GF.
• Vậy, G là trọng tâm của tam giác ABC.

1. b) Bài toán về tính chất của trọng tâm:

• Đề bài: Trong tam giác ABC, G là trọng tâm. Chứng minh rằng AG là đường trung tuyến của tam giác AEF, trong đó E và F lần lượt là trung điểm của AC và AB.
• Giải:

• Vì G là trọng tâm, nên AG là đường trung tuyến của tam giác ABC.
• Ta có E là trung điểm của AC và F là trung điểm của AB.
• Do đó, theo tính chất của đường trung tuyến, AG cũng là đường trung tuyến của tam giác AEF.

Những bài tập này giúp bạn rèn kỹ năng sử dụng tính chất của tam giác và đường trung tuyến, đồng thời làm quen với việc chứng minh sự đồng quy của các đoạn thẳng trong không gian tam giác